Comment simplifier et de diviser le schr & # 246-Dinger équation pour l'hydrogène

En physique quantique, vous pouvez avoir besoin de simplifier et de diviser le Schr # 246-Dinger équation pour l'hydrogène. Voici l'équation mécanique Schr # 246-dinger de quantum habituel pour l'atome d'hydrogène:

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Le problème est que vous êtes en tenant compte de la distance du proton est du centre de masse de l'atome, alors le calcul est en désordre. Si vous étiez à supposer que le proton est stationnaire et que rp = 0, cette équation se briserait à la suivante, qui est beaucoup plus facile à résoudre:

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Malheureusement, cette équation est pas exacte, car il ne tient pas compte du mouvement du proton, donc vous voyez la version la plus-complète de l'équation dans la mécanique quantique textes.

Pour simplifier la Schr # 246-Dinger équation d'habitude, vous passez à coordonnées du centre de masse. Le centre de masse du système protons / électrons est à cet endroit:

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Et le vecteur entre l'électron et du proton est

r = re - rp

Utilisation de vecteurs R et r au lieu de re et rp rend le Schr # 246-Dinger équation plus facile à résoudre. Le Laplacien pour R est

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Et pour le Laplacien r est

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Comment pouvez-vous rattacher

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à de l'équation habituelle

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Après l'algèbre installe, vous obtenez

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où M = me + mp est la masse totale et

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est appelé le masse réduite. Lorsque vous mettez ensemble les équations pour le centre de masse, le vecteur entre le proton et l'électron, la masse totale, et m, alors le Schr # 246-Dinger équation indépendante du temps devient la suivante:

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Ensuite, étant donné les vecteurs, R et r, le potentiel est donné par,

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Le Schr # 246-Dinger équation devient alors

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Cela ressemble plus facile - l'amélioration principale étant que vous avez maintenant |r| dans le dénominateur du terme d'énergie potentielle plutôt que |re - rp|.

Parce que l'équation contient des termes impliquant soit R ou r mais pas les deux, la forme de cette équation indique qu'il est une équation différentielle séparables. Et cela signifie que vous pouvez regarder pour une solution de la forme suivante:

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En substituant l'équation précédente dans la précédente vous donne ce qui suit:

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Et en divisant cette équation par

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te donne

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Bien bien bien. Cette équation a des termes qui dépendent soit

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mais pas les deux. Cela signifie que vous pouvez séparer cette équation en deux équations, comme ceci (où l'énergie totale, E, est égal à ER + Er):

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Multipliant

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te donne

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Et en multipliant

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te donne

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Maintenant, vous avez deux équations Schr # 246-Dinger, que vous pouvez résoudre de façon indépendante.


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