Comment trouver les racines imaginaires en utilisant le théorème fondamental de l'algèbre

Le théorème fondamental de l'algèbre peut vous aider à trouver les racines imaginaires. Racines imaginaires apparaître dans une équation quadratique lorsque le discriminant de l'équation quadratique - la partie sous le signe de la racine carrée (b2 - 4un C) - Est négative. Si cette valeur est négative, vous ne pouvez pas réellement prendre la racine carrée, et les réponses ne sont pas réels. En d'autres termes, il n'y a pas de véritable solution-donc, le graphique ne sera pas traverser la X-axe.

En utilisant la formule quadratique vous donne toujours deux solutions, parce que le signe plus / moins signifie que vous êtes tous les deux addition et de soustraction et d'obtenir deux réponses complètement différentes. Lorsque le nombre sous le signe de la racine carrée de la formule quadratique est négatif, les réponses sont appelés conjugués complexes. Un est r + si et l'autre est r - SI. Ces chiffres ont à la fois réel (la r) Et imaginaire (la si) Parties.

Le système numérique complexe se compose de tous les numéros r + sir et s sont des nombres réels. Observez que lorsque s = 0, vous avez tout simplement les nombres réels. Par conséquent, les nombres réels sont un sous-ensemble du système de nombre complexe. Le théorème fondamental de l'algèbre dit que toute fonction polynomiale possède au moins une racine dans le système de nombre complexe.

Le plus haut degré d'un polynôme vous donne le plus grand nombre possible de distincte complexe racines pour le polynôme. Entre ce fait et de la règle de Descartes de signes, vous pouvez avoir une idée de combien de racines imaginaires un polynôme a.

Voici comment la règle de Descartes de signes peut vous donner les numéros de possibles racines réelles, à la fois positives et négatives:

  • Racines réel positif. Pour le nombre de racines réelles positives, regardez le polynôme, écrite dans l'ordre décroissant, et compter combien de fois les signes des changements de terme à terme. Cette valeur représente le nombre maximum de racines positives dans le polynôme. Par exemple, dans le polynôme F(X) = 2X4 - 9X3 - 21X2 + 88X + 48, vous voyez deux changements de signe (ne pas oublier d'inclure le signe de la première période!) - À partir de la première période (+2x4) À la seconde (-9x3) Et de la troisième terme (-21x2) Pour le quatrième terme (88x). Cela signifie que cette équation peut avoir jusqu'à deux solutions positives.

    La règle de Descartes de signes indique que le nombre de racines positives est égal à l'évolution de signe de F(X), Ou est inférieure à celle d'un nombre pair (si vous continuez à soustraire 2 jusqu'à ce que vous obtenez 1 ou 0). Par conséquent, le précédent F(X) Peut avoir 2 ou 0 racines positives.

  • Racines réelles négatives. Pour le nombre de racines réelles négatives, trouver F(-X) Et compter à nouveau. Parce que les nombres négatifs soulevés à même les pouvoirs sont des nombres positifs et négatifs soulevés à des puissances impaires sont négatives, ce changement affecte uniquement les termes avec puissances impaires. Cette étape est la même que de changer chaque terme avec un degré impair à son signe opposé et de compter les changements de signe nouveau, ce qui vous donne le nombre maximum de racines négatives. L'exemple équation devient F(-X) = 2X4 + 9X3 - 21X2 - 88X + 48, qui change de signe deux fois. Il peut y avoir, dans la plupart, deux racines négatives. Cependant, semblable à la règle pour les racines positives, le nombre de racines négatives est égale à l'évolution de signe pour F(-X), Ou doit être inférieure à celle d'un nombre pair. Par conséquent, cet exemple peut avoir soit 2 ou 0 racines négatives.

Couplage chaque nombre possible de racines réelles positives avec chaque nombre possible de racines-réel négatif le nombre restant de racines pour chaque situation représente le nombre de racines imaginaires.

Par exemple, le polynôme F(X) = 2X4 - 9X3 - 21X2 + 88X + 48 présente un degré de quatre, avec deux ou zéro racines réelles positives ou nulles et deux racines réelles négatives. Avec cette information, vous pouvez jumeler les situations possibles:

  • Deux positifs et deux racines réelles négatives, avec zéro racines imaginaires

  • Deux positive et zéro racines réelles négatives, avec deux racines imaginaires


  • Zéro positif et deux racines réelles négatives, avec deux racines imaginaires

  • Zéro positif et zéro racines réelles négatives, avec quatre racines imaginaires

Le tableau suivant rend l'information plus facile à l'image:

Racines réelles positivesRacines réelles négativesRacines imaginaires
220
202
022
004

Les nombres complexes sont écrites sous la forme r + si et avoir à la fois une réelle et une partie imaginaire, qui est pourquoi chaque polynôme a au moins une racine dans le système de nombre complexe. Nombres réels et imaginaires sont tous deux inclus dans le système de nombre complexe. Nombres réels avoir aucune partie imaginaire, et nombres imaginaires purs avoir aucune partie réelle. Par exemple, si X = 7 est une racine du polynôme, cette racine est considéré à la fois réel et complexe, car elle peut être réécrite comme X 7 + 0 =je (la partie imaginaire est 0).

Le théorème fondamental de l'algèbre donne le nombre total de racines complexes (par exemple il ya sept) - la règle de Descartes de signes vous indique combien de possible racines réelles existent et combien d'entre eux sont positifs et négatifs (par exemple il ya, au plus, deux racines positives, mais une seule racine négative). Maintenant, supposons que vous tous avez trouvé: X = 1, X = 7, et X = -2. Ces racines sont réels, mais ils sont aussi complexe, car ils peuvent tous être réécrites.

Les deux premières colonnes du tableau à trouver les racines réelles et de les classer comme positif ou négatif. La troisième colonne est en fait de trouver, en particulier, les non-nombres réels: avec des nombres complexes non nuls parties imaginaires.


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