Comment trouver les véritables racines d'un polynôme en utilisant la règle des signes de Descartes

Si vous savez combien de racines totale a un polynôme, vous pouvez utiliser un théorème assez cool appelé La règle de Descartes de signes de compter combien de racines sont des nombres réels (à la fois positif et négatif) et combien sont imaginaires. Vous voyez, le même homme qui a inventé presque graphique, Descartes, est également venu avec une façon de comprendre combien de fois un polynôme peut traverser la possible X-axe - en d'autres termes, combien de racines réel, il peut éventuellement avoir. Tout ce que vous devez être en mesure de faire est de compter!

Les termes Solutions / zéros / racines sont synonymes car ils représentent tous où le graphe d'un polynôme coupe la X-axe. Les racines que l'on trouve lorsque le graphe rencontre avec le X-axe sont appelés réel racines- vous pouvez les voir et de les traiter comme des nombres réels dans le monde réel. Aussi, parce qu'ils traversent la X-axe, quelques racines peuvent être racines négatives (ce qui signifie qu'ils se croisent le négatif X-axe), et certains peuvent être racines positives (qui se coupent le positif X-axe).

Voici comment la règle de Descartes de signes peut vous donner les numéros de possibles racines réelles, à la fois positives et négatives:

  • Racines réel positif. Pour le nombre de racines réelles positives, regardez le polynôme, écrite dans l'ordre décroissant, et compter combien de fois les signes des changements de terme à terme. Cette valeur représente le nombre maximum de racines positives dans le polynôme. Par exemple, dans le polynôme F(X) = 2X4 - 9X3 - 21X2 + 88X + 48, vous voyez deux changements de signe (ne pas oublier d'inclure le signe plus de la première période!) - À partir de la première période (+ 2x4) À la seconde (-9x3) Et de la troisième mandat (-21x2) À la quatrième mandat (88x). Cela signifie que cette équation peut avoir jusqu'à deux solutions positives.

    La règle de Descartes de signes indique que le nombre de racines positives est égal à l'évolution de signe de F(X), Ou est inférieure à celle d'un nombre pair (si vous continuez à soustraire 2 jusqu'à ce que vous obtenez 1 ou 0). Par conséquent, le précédent F(X) Peut avoir 2 ou 0 racines positives.

  • Racines réelles négatives. Pour le nombre de racines réelles négatives, trouver F(-X) Et compter à nouveau. Parce que les nombres négatifs soulevés à même les pouvoirs sont des nombres positifs et négatifs soulevés à des puissances impaires sont négatives, ce changement affecte uniquement les termes avec puissances impaires. Cette étape est la même que de changer chaque terme avec un degré impair à son signe opposé et de compter les changements de signe nouveau, ce qui vous donne le nombre maximum de racines négatives. L'exemple équation devient F(-X) = 2X4 + 9X3 - 21X2 - 88X + 48, qui change de signe deux fois. Il peut y avoir, dans la plupart, deux racines négatives. Cependant, semblable à la règle pour les racines positives, le nombre de racines négatives est égale à l'évolution de signe pour F(-X), Ou doit être inférieure à celle d'un nombre pair. Par conséquent, cet exemple peut avoir soit 2 ou 0 racines négatives.


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