Comment calculer la valeur attendue, la variance et l'écart type pour une distribution de t

Les distributions de probabilité, y compris la distribution t, ont plusieurs moments, y compris la valeur attendue, la variance et l'écart-type (un moment est une mesure sommaire d'une distribution de probabilité):

  • Le premier moment d'une distribution est la valeur attendue, E(X), Qui représente la valeur moyenne ou la moyenne de la distribution.

    Pour la distribution t avec

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    degrés de liberté, la moyenne (ou valeur prévue) est égal à

    image1.jpg

    ou une distribution de probabilité, et

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    désigne généralement le nombre de degrés de liberté d'une distribution.

  • Le deuxième moment central est la variance

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    et il mesure la propagation de la distribution de la valeur attendue. Le plus étalée une distribution est, plus "tendu" est le graphique de la distribution. En d'autres termes, les queues seront encore de la moyenne, et la zone proche de la moyenne seront plus petits. Par exemple, sur la base des figures ci-dessous, on peut voir que la distribution t avec 2 degrés de liberté est beaucoup plus étendue que la distribution t avec 30 degrés de liberté.

    Vous utilisez la formule

    image4.jpg

    à calculer la variance de la distribution t.

    La distribution t normale et standard avec deux degrés de liberté.
    La distribution t normale et standard avec deux degrés de liberté.
    La distribution t normale et standard avec 30 degrés de liberté.
    La distribution t normale et standard avec 30 degrés de liberté.

A titre d'exemple, avec 10 degrés de liberté, la variance de la distribution t est calculée par la substitution de 10

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dans la formule de la variance:

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Avec 30 degrés de liberté, la variance de la distribution t est égal à

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Ces calculs montrent que les degrés de liberté augmente, la variance des baisses t-distribution, se rapproche progressivement de 1.

  • L'écart-type est la racine carrée de la variance

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    (Il est pas un moment à part.)

    Pour la distribution t, vous trouvez l'écart avec cette formule:

    image11.jpg

Pour la plupart des applications, l'écart type est une mesure plus utile que la variance parce que l'écart type et la valeur prévue sont mesurés dans les mêmes unités tandis que la variance est mesurée en quadrillé unités. Par exemple, supposons que vous supposez que les rendements sur un portefeuille suivent la distribution t. Vous mesurez la fois la valeur prévue du rendement et de l'écart-type comme percentage- vous mesurez la variance comme quadrillé pourcentage, qui est un concept difficile à interpréter.


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