Mathématiques normes de tronc commun: le système de nombre complexe

Les élèves du secondaire auront besoin de savoir sur le système de nombre complexe pour les normes de base communes. La système de nombre complexe comprend à la fois des nombres réels et imaginaires. Un nombre imaginaire, représenté comme je, est la racine carrée de -1 je est imaginaire car aucun nombre multiplié par lui-même se traduit par une valeur négative.

En 11e année, les élèves rencontrent des nombres imaginaires comme traduction sur le plan imaginaire. Voici ce que les élèves doivent savoir et être capables de faire lorsqu'ils traitent avec le système de nombre complexe:

  • Expliquer ce qu'est un nombre complexe (imaginaire) est:

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    ou

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  • un + bi = Un nombre complexe, à la fois un et b étant des nombres réels

  • Additionner, soustraire, multiplier et nombres complexes en utilisant le commutative, associative, et les propriétés de distribution:

    • Commutative vous permet d'ajouter ou de multiplier les nombres dans l'ordre, par exemple 4 + 2 = 2 + 4

    • Associative signifie que vous pouvez ajouter ou multiplier numéros dans tout groupement, par exemple (3 x 5) x 4 = 3 x (5 x 4)

    • Distributive est généralement représentée comme

      un x (b + c) = (a x b) + (a x c)

    • Ainsi, les élèves devraient être en mesure de résoudre des équations telles que:

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    • Trouver le conjugué d'un nombre complexe et utiliser conjugués pour trouver des modules et des quotients de nombres complexes. UN conjugué est un binôme (représentant la somme ou la différence de deux termes) formé par la négation de la deuxième durée d'un binomial- par exemple, le conjugué de a + b est un - b.

    • Quand un nombre imaginaire est impliqué, vous avez une conjugué complexe- par exemple, dans l'expression m = un + bi le conjugué complexe représenté est la suivante:

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      Un problème de l'échantillon peut fournir une donnée et vous demander d'utiliser le conjugué de trouver le module et quotient- par exemple, étant donné que y = 3-7je et z = 5 + 2je, trouver le module de y et le quotient de z et y:

      Pour trouver le module de y en utilisant son complexe conjugué, les étudiants peuvent résoudre une équation comme suit:

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      ou

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      Comme vous pouvez le voir, vous utilisez la propriété distributive de multiplier les deux binômes dans la première étape. Vous pouvez utiliser la méthode de la feuille (premiers termes, conditions extérieures, à l'intérieur des termes, conditions derniers) de se rappeler comment faire cela: la première (3 x 3), à l'extérieur (3 x 7je), À l'intérieur (-7je x 3), et le dernier (-7je x 7je). Après avoir multiplié ces termes, vous arrivez à un polynôme à quatre termes.

      Ensuite, vous combinez les termes semblables et effectuer toutes les opérations restantes. Car je est la racine carrée de -1, vous pouvez changer je2 en 1 et multiplier par -49, résultant en changer pour un nombre positif. Après avoir calculé 9 + 49 = 58, prendre la racine carrée de 58 parce que vous êtes pour résoudre y2 et voulez trouver y au lieu.


      Pour trouver le quotient de z et y:

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    • Représenter les nombres complexes sur le plan complexe de forme rectangulaire et polaire et expliquer pourquoi les formes rectangulaires et polaires d'un nombre complexe représentent le même nombre. Dans le plan complexe, l'axe horizontal (X # 8201-) Représente des nombres réels, et l'axe vertical (Yi) Représente des nombres imaginaires. Les nombres imaginaires peuvent être représentés sur le plan complexe sous deux formes:

      • Forme rectangulaire: L'intersection des nombres réels et imaginaires est représenté comme l'intersection de coordonnées sur la X et Yi axes.

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      • Forme polaire: Le nombre réel représente la longueur du vecteur (dans quelle mesure le vecteur atteint dans le plan imaginaire), et # 952- représente l'angle des formes vectorielles avec l'axe réel (l'axe familière représentée par X et y). Forme polaire est dérivé du théorème de Pythagore, r2 = un2 + b2.

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      • Représenter addition, la soustraction, la multiplication et la conjugaison sur le plan complexe.

      • Résoudre équations du second degré (équations dans lesquelles la plus grande puissance d'un inconnu est un carré) à coefficients réels qui ont des solutions complexes. Par exemple, les étudiants peuvent être invités à résoudre X2 + 2X = Numéros 0 sur complexes.

      • Elargir identités polynomiales aux nombres complexes. Par example, X + 7 en utilisant les nombres complexes peuvent être exprimées en tant que (X + 7je) X (X - 7je).

      • Saisissez la Théorème fondamental de l'algèbre, qui stipule que tout polynôme de n degré a n racines (là où le polynôme est égale à zéro lorsque représentées graphiquement). Par exemple, dans un polynôme à une variable, telle que 5x6 + 8x - 2, le n degré est 6, de sorte que le polynôme a 6 racines.

      • Vous pouvez aider votre enfant à la maison en montrant surveillance intéressant progress- encourager votre enfant à demander de l'aide, si nécessaire- et d'exprimer les préoccupations que vous avez à l'enseignant de mathématiques de votre enfant. Vous pouvez également suivre les sites web qui peuvent vous aider à comprendre ces concepts, comme Khan Academy ou illustratifs mathématiques.


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