Le concept de propagation d'erreur

Une forme moins extrême du vieux dicton «garbage in garbage out est égal" est "floue égaux sur floue." Fluctuations aléatoires dans une ou plusieurs variables mesurées produisent des fluctuations aléatoires dans tout ce que vous calculez à partir de ces variables. Ce processus est appelé le propagation des erreurs. Vous devez savoir comment la mesure des erreurs se propagent à travers un calcul que vous effectuez sur une quantité mesurée.

Voici une façon simple d'estimer le SE d'une variable (Y) Qui est calculé à partir de presque toute expression mathématique qui implique une seule variable (X). A partir de la observé X valeur (Xo), Et son erreur standard (SE), Il suffit de faire le calcul en 3 étapes suivantes:

  1. Évaluer l'expression, en remplaçant la valeur de Xo - SE pour X dans la formule. Appelez le résultat Y1.

  2. Évaluer l'expression, en remplaçant la valeur de Xo + SE pour X dans la formule. Appelez le résultat Y2.

  3. La SE de Y est tout simplement (Y2 - Y1) / 2.

Voici un exemple qui montre comment (et pourquoi) ce processus fonctionne.

Supposons que vous mesurez le diamètre () D'une pièce de monnaie que 2,3 centimètres, en utilisant un étrier ou une règle que vous savez (à partir de l'expérience passée) a une SE de # 177- 0,2 centimètres. Maintenant dites que vous voulez calculer la surface (UN) De la pièce de monnaie à partir du diamètre mesuré.

Si vous savez que l'aire d'un cercle est donnée par la formule

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vous pouvez immédiatement calculer la surface de la pièce que

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lequel vous pouvez travailler sur votre calculatrice pour obtenir 4.15475628 centimètres carrés. Bien sûr, vous auriez jamais déclarer la zone à ce que le nombre de chiffres parce que vous ne mesurez le diamètre de façon très précise. Alors, comment est votre région précise calculée? En d'autres termes, comment ça # 177- 0,2 centimètres de SE propager à travers la formule pour donner le SE de UN?

Une façon de répondre à cette question serait à envisager une marge d'une erreurr (ME) autour du diamètre observé () Qui va d'un SE ci-dessous l'une au-dessus de SE ré. Le ME est toujours deux SE large. Dans l'exemple de pièces de monnaie, ME du diamètre se prolonge à partir de 2,3 - 0,2 à + 2,3 0,2, ou de 2,1 à 2,5 centimètres.

Maintenant déterminer les zones correspondant aux diamètres aux extrémités inférieure et supérieure de la ME. Utilisation 2.1 pour dans la zone formule donne UN = 3,46, et l'utilisation de 2,5 pour donne UN = 4,91. Ainsi, le ME pour la zone de la pièce va de 3,46 à 4,91 centimètres carrés.

La largeur de cette ME est 4,91 - 3,46, ou 1,45 centimètres carrés, ce qui représente deux SES pour la région. Ainsi, le SE de la zone est de 1,45 / 2, ou 0,725 centimètre carré.

La ligne courbe représente la formule UN = # 960- / 4) x 2. Les flèches noires montrent comment le diamètre mesuré (2,3 centimètres), lorsqu'il est branché dans la formule, produit une surface calculée d'environ 4,15 centimètres carrés. Les flèches grises de couleur claire représentent les extrémités inférieures et supérieures de la ME et montrent comment le ME pour le diamètre produit un ME pour la région.

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La SE de la surface dépend de la SE de diamètre et la pente de la courbe. En fait, la zone de la SE est égal au diamètre de la SE multipliée par la pente de la courbe.

Malheureusement, la procédure simple illustrée dans cet exemple ne peut pas être généralisée pour assurer les fonctions de deux ou plusieurs variables, telles que le calcul de l'indice de masse corporelle d'une personne à partir de la hauteur et le poids.

Les mathématiciens ont dérivé une formule très générale pour le calcul (approximativement) le PE dans une ou plusieurs variables se propagent à travers toute expression impliquant ces variables, mais il est très compliqué, et pour l'utiliser, vous devez être vraiment bon en calcul ou vous allez presque certainement faire des erreurs le long du chemin.

Heureusement, il ya beaucoup mieux alternatives:

  • Vous pouvez utiliser certaines formules erreur propagation simples pour des expressions simples.

  • Encore plus facile, vous pouvez aller à une page Web qui fait les calculs erreur de propagation pour les fonctions d'une ou deux variables.

  • Vous pouvez utiliser une approche très générale de simulation qui peut facilement analyser la façon dont les erreurs se propagent à travers même les expressions les plus complexes, impliquant un certain nombre de variables.


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