Fonctions sinusoïdales et l'analyse des circuits

Les fonctions sinusoïdales (sinus et cosinus) apparaissent partout, et ils jouent un rôle important dans l'analyse des circuits. Les fonctions sinusoïdales fournissent une bonne approximation pour décrire l'entrée d'un circuit et le comportement de sortie non seulement dans l'ingénierie électrique, mais dans de nombreuses branches de la science et de l'ingénierie.

Sommaire

La fonction sinusoïdale est périodique, ce qui signifie son graphe contient une forme de base qui se répète encore et indéfiniment. La fonction se poursuit indéfiniment, oscillant à travers les pics et vallées sans fin dans les deux directions négatives et positives de temps. Voici quelques éléments clés de la fonction:

  • L'amplitude VUN définit les pics maximum et minimum des oscillations.

  • Fréquence F0 décrit le nombre d'oscillations en 1 seconde.

  • La période T0 définit le temps nécessaire pour achever 1 cycle.

La période et la fréquence sont inverses de l'autre, régi par la relation mathématique suivante:

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Voici une fonction cosinus, vous pouvez utiliser comme signal de référence:

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Vous pouvez déplacer des fonctions sinusoïdales gauche ou à droite avec un décalage temporel ainsi que augmentation ou une diminution de l'amplitude. Vous pouvez également décrire une fonction sinusoïdale avec un décalage de phase en termes d'une combinaison linéaire des fonctions sinus et cosinus. Voici une fonction cosinus et une fonction cosinus décalé par un décalage de phase de # 960- / 2.

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Les décalages de phase dans une fonction sinusoïdale

Un signal qui est déphasées a été décalée à droite ou à gauche par rapport à un signal de référence:

  • Décalage à droite: Quand une fonction se déplace à droite, puis la fonction est dite différé. Le cosinus retardé a son apogée survient après l'origine. Un signal retardé est également dit être un signal de retard parce que le signal arrive plus tard que prévu.

  • Décalage à gauche: Lorsque la fonction cosinus est décalée vers la gauche, la fonction décalé est dit avancé. Le pic du signal de pointe se produit juste avant l'origine. Un signal de pointe est également appelé signal de plomb parce que le signal de plomb arrive plus tôt que prévu.

Voici des exemples de fonctions cosinus non transposées, décalée, et le plomb.

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Pour voir ce qu'est un déphasage ressemble mathématiquement abord jeter un oeil à la signal de référence:

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À t = 0, le pic positif VUN sert de point de référence. Pour déplacer le point de décalage dans le temps de référence TS, remplace le t avec (t - TS):

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Le facteur # 981- est le décalage de phase (ou angle). Le déphasage est l'angle entre t = 0 et le pic positif le plus proche. Vous pouvez voir l'équation précédente comme la représentation polaire de la sinusoïde. Lorsque le décalage de phase est # 960- / 2, puis le cosinus décalé est une fonction sinusoïdale.

Exprimez l'angle de phase en radians pour vous assurer qu'il est dans les mêmes unités que l'argument du cosinus (2 # 960-t/T0 - # 981-). Angles peuvent être exprimés soit en radians ou degrés- assurez-vous que vous utilisez le réglage sur votre calculatrice droite.

Lorsque vous avez un déphasage # 981- à la sortie par rapport à l'entrée, il est généralement provoquée par le circuit lui-même.

Développer une fonction sinusoïdale et de trouver des coefficients de Fourier

La sinusoïde générale v (t) implique le cosinus de la différence d'angles. Dans de nombreuses applications, vous pouvez étendre la sinusoïde générale en utilisant l'identité trigonométrique suivante:

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Élargissement de la sinusoïde générale v (t) mène à

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Les termes c et sont des constantes simplement spéciaux appelés Coefficients de Fourier. Vous pouvez exprimer la forme d'onde comme une combinaison de sinus et cosinus comme suit:

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La fonction v (t) décrit un signal sinusoïdal de forme rectangulaire.

Si vous connaissez vos nombres complexes aller entre les formes polaires et rectangulaires, alors vous pouvez aller entre les deux formes de sinusoïdes. Les coefficients de Fourier c et sont liés par l'amplitude VUN et la phase # 981-:

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Si vous revenez à trouver VUN et # 981- à partir des coefficients de Fourier c et , vous vous retrouvez avec ces expressions:

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La fonction inverse de la tangente sur une calculatrice a une positive ou négative 180 # 176- (ou # 960-) ambiguïté de phase. Vous pouvez comprendre la phase en regardant les signes des coefficients de Fourier c et . Dessiner des points c et sur le système rectangulaire, où c est le X-le composant (ou abscisse) Et est le y-le composant (ou ordonnée).

Le rapport entre /c peut être négatif dans les quadrants II et IV. En utilisant le système rectangulaire vous aide à déterminer les angles lors de la prise de la arctangente, dont la portée est de - # 960- / 2 à # 960- / 2.

Connectez fonctions sinusoïdales à exponentielles avec la formule d'Euler

La formule d'Euler relie fonctions trigonométriques avec les fonctions exponentielles complexes. La formule stipule que pour tout nombre réel # 952-, vous avez les expressions exponentielles complexes suivants:

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L'exposant j# 952- est un nombre imaginaire, où j = # 8730 à -1.

Le nombre imaginaire j est le même que le nombre je à partir de vos classes de mathématiques, mais tous les gens cool utilisent j parce que des nombres imaginaires je supports pour le courant.

Vous pouvez ajouter et soustraire les deux équations précédentes pour obtenir les relations suivantes:

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Ces équations disent que les fonctions cosinus et sinus sont construits comme une combinaison d'exponentielles complexes. Les exponentielles complexes jouent un rôle important lorsque vous analysez des circuits complexes qui ont des dispositifs de stockage tels que les condensateurs et inductances.


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