Combiner les solutions pour les petites et grandes r r dans le schr & # 246-Dinger équation

Lorsque vous appliquez la mécanique Schr # 246-Dinger équation quantique pour un atome d'hydrogène, vous avez besoin de mettre en place les solutions pour les petites r et grand r. L'équation Schr # 246-Dinger vous donne une solution à la Schr # 246-Dinger équation radiale pour un atome d'hydrogène comme suit:

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où f (r) Est une fonction non encore constatés, indéterminée r. Votre prochaine tâche consiste à déterminer f (r), Que vous faites en substituant cette équation dans le Schr # 246-Dinger équation radiale, vous donnant la suivante:

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Exécution de la substitution vous donne l'équation différentielle suivante:

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Une équation différentielle assez, hein? Mais juste asseoir et vous détendre - vous le résoudre avec une série de puissance, ce qui est une façon courante de résolution d'équations différentielles. Voici la forme de puissance série de f (r) utiliser:

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En substituant l'équation précédente dans la précédente vous donne

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Modification de l'indice du second mandat de k à k - 1 vous donne

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Parce que chaque terme de cette série doit être nul, vous avez

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Divisant par rk-2 te donne

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Cette équation donne la relation de récurrence de la série infinie,

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Autrement dit, si vous en avez un coefficient, vous pouvez obtenir le prochain utilisant cette équation. Qu'est-ce que vous achetez? Eh bien, jetez un oeil au rapport de unk/unk-1:

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Voici ce que ce ratio se rapproche de k tend vers l'infini:

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Ceci ressemble à l'expansion de eX, qui est

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Pour ce qui est de e2X, le rapport de mandats successifs est

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Et dans la limite

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le rapport des coefficients de dilatation successives de e2X deux approches /k:

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Cela est le cas pour e2X. Pour f (r), tu as

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En comparant ces deux équations, il est évident que

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La fonction d'onde radiale, Rnl(r), Ressemble à ceci:

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Brancher la forme que vous avez pour f (r),

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Ok, si vous en réjouir? Et bien non. Voici ce que la fonction d'onde

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ressemble:

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Et son remplacement dans votre forme de Rnl(r) À partir de cette équation vous donne

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