Comment découpler différentes particules dans équations linéairement indépendants

En physique quantique, vous pouvez découpler les systèmes de particules que vous pouvez distinguer - qui est, les systèmes de identifiable différentes particules - en équations linéairement indépendantes. Pour illustrer ceci, supposons que vous avez un système de beaucoup de différents types de voitures qui circulent dans l'espace. Vous pouvez distinguer toutes ces voitures parce qu'ils sont tous différents - ils ont des masses différentes, pour une chose.

Maintenant dire que chaque voiture interagit avec son propre potentiel - autrement dit, la possibilité que l'une quelconque voit voiture ne dépend pas d'une autre voiture. Cela signifie que le potentiel pour toutes les voitures est simplement la somme des potentiels individuels chaque voiture voit, qui ressemble à ceci, en supposant que vous avez N voitures:

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Être capable de couper l'énergie potentielle en une somme de termes indépendants comme ce qui rend la vie beaucoup plus facile. Voici ce que l'hamiltonien ressemble:

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Notez comment beaucoup plus simple que cette équation est ce Hamiltonien de l'atome d'hydrogène:

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Notez que vous pouvez séparer l'équation précédente pour le potentiel de toutes les voitures en N équations différentes:

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Et l'énergie totale est simplement la somme des énergies des voitures individuelles:

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Et la fonction d'onde est simplement le produit des différentes fonctions d'onde:

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sauf qu'il représente un produit de termes, pas une somme, et nje fait référence à tous les nombres quantiques de la jee particules.

Comme vous pouvez le voir, lorsque les particules avec lesquels vous travaillez sont distinguables et sous réserve de potentiels indépendants, le problème de la manipulation beaucoup d'entre eux devient plus simple. Vous pouvez casser le système en place dans les systèmes d'un de particules indépendantes N. L'énergie totale est que la somme des énergies individuelles de chaque particule. Le Schr # 246-Dinger équation se décompose en N différentes équations. Et la fonction d'onde finit par être simplement le produit des fonctions d'onde des différentes particules N.

Jetez un oeil à un exemple. Disons que vous avez quatre particules, chacune avec une masse différente, dans un puits carré. Vous voulez trouver l'énergie et la fonction d'onde de ce système. Voici ce que le potentiel du puits carré ressemble à ceci pour chacune des quatre particules sans interaction:

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Voici ce que le Schr # 246-Dinger équation ressemble:

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Vous pouvez séparer l'équation précédente en quatre équations à une particule:

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Les niveaux d'énergie sont

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Et parce que l'énergie totale est la somme des énergies individuelles est

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l'énergie est en général

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Alors, voici l'énergie de l'état du sol - où toutes les particules sont dans leurs états fondamentaux, n1 = n2 = n3 = n4 = 1:

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Pour un système unidimensionnel avec une particule dans un puits carré, la fonction d'onde est

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La fonction d'onde pour le système à quatre particules est simplement le produit des différentes fonctions d'onde, de sorte qu'il ressemble à ceci:

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Par exemple, pour l'état du sol, n1 = n2 = n3 = n4 = 1, vous avez

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Donc, comme vous pouvez le voir, les systèmes de n, particules distinguables indépendants sont souvent sensibles à la solution - tout ce que vous avez à faire est de les diviser en N équations indépendantes.


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