Travailler avec trois dimensions potentiels rectangulaires

Cet article jette un coup d'œil à un potentiel 3D qui forme une boîte, comme vous le voyez dans la figure suivante. Vous souhaitez obtenir les fonctions d'onde et les niveaux d'énergie ici.

Un potentiel de la boîte en 3D.
Un potentiel de la boîte en 3D.

Intérieur de la boîte, dire que V (X, y, z) = 0, et en dehors de la boîte, dire que

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Donc, vous avez la suivante:

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Divisant V (X, y, z) En VX(X), Vy(y), Et Vz(z) te donne

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Bon, parce que le potentiel tend vers l'infini sur les parois de la boîte, la fonction d'onde,

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doit aller à zéro sur les murs, de sorte que est votre contrainte. En 3D, le Schr # 246-Dinger équation ressemble à ceci en trois dimensions:

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Écrit ceci vous donne ce qui suit:

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Prenez cette dimension en dimension. Parce que le potentiel est séparable, vous pouvez écrire

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Intérieur de la boîte, le potentiel est égal à zéro, de sorte que le Schr # 246-Dinger équation ressemble à ceci pour X, y, et z:

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La prochaine étape consiste à réécrire ces équations en termes de nombre d'onde, k. Car

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vous pouvez écrire les équations Schr # 246-Dinger pour X, y, et z comme les équations suivantes:

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Commencez par jeter un oeil à l'équation pour X. Maintenant, vous avez quelque chose à travailler avec - une équation différentielle du second ordre,

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Voici les deux solutions indépendantes à cette équation, où A et B sont encore à déterminer:

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Donc, la solution générale de

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est la somme de ces deux dernières équations:

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