Travailler avec trois dimensions oscillateurs harmoniques

En physique quantique, lorsque vous travaillez dans une dimension, la particule générale oscillateur harmonique ressemble à la figure présentée ici, où la particule est sous l'influence d'une force de rappel - dans cet exemple, illustré comme un ressort.

Un oscillateur harmonique.
Un oscillateur harmonique.

La force de rappel a la forme FX = -kXX dans une dimension, où kX est la constante de proportionnalité entre la force exercée sur la particule et l'emplacement de la particule. L'énergie potentielle des particules en fonction de l'emplacement X est

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Ceci est également parfois écrit comme

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Maintenant, jetez un oeil à l'oscillateur harmonique en trois dimensions. En trois dimensions, le potentiel ressemble à ceci:

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Maintenant que vous avez une forme pour le potentiel, vous pouvez commencer à parler en termes de l'équation de Schr # 246-Dinger:

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En substituant dans le potentiel en trois dimensions, V (x, y, z), Vous donne cette équation:

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Prenez cette dimension en dimension. Parce que vous pouvez séparer le potentiel en trois dimensions, vous pouvez écrire

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Par conséquent, le Schr # 246-Dinger équation ressemble à ceci pour X:

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Résoudre cette équation, vous obtenez cette solution suivante:

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et nX = 0, 1, 2, et ainsi de suite. Le HnX terme indique un polynôme de Hermite, qui ressemble à ceci:

  • H0(X) = 1

  • H1(X) = 2X

  • H2(X) = 4X2 - 2

  • H3(X) = 8X3 - 12X

  • H4(X) = 16X4 - 48X2 + 12

  • H5(X) = 32X5 - 160X3 + 120X


Par conséquent, vous pouvez écrire la fonction d'onde comme ceci:

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Voilà une forme relativement facile pour une fonction d'onde, et tout est rendu possible par le fait que vous pouvez séparer le potentiel en trois dimensions.

Qu'en est-il de l'énergie de l'oscillateur harmonique? L'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel est

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Et par analogie, l'énergie d'un oscillateur harmonique à trois dimensions est donnée par

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Notez que si vous avez un oscillateur harmonique isotrope, où

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l'énergie ressemble à ceci:

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En ce qui concerne le potentiel cubique, l'énergie d'un oscillateur harmonique isotrope 3D est dégénérée. Par exemple, E112 E =121 E =211. En fait, il est possible d'avoir plus de dégénérescence triple pour un oscillateur harmonique isotrope 3D - par exemple, E200 E =020 E =002 E =110 E =101 E =011.

En général, la dégénérescence d'un oscillateur harmonique isotrope 3D est

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n = nX + ny + nz.


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