Courbes Crossing: trouver les intersections des paraboles et des cercles

Quand une parabole et le cercle se croisent, les possibilités de leur rencontre sont nombreuses et variées. Les deux courbes peuvent se croiser dans pas moins de quatre points différents, ou peut-être trois, ou tout simplement deux ou même juste un point.

Sommaire

Gardez vos options ouvertes et d'être vigilant pour autant de solutions communes que possible (à droite - jusqu'à quatre). Et, oui, le système peut ne pas avoir de solution du tout. Les courbes peuvent passer complètement à côté de l'autre.

Pour ces problèmes, vous mettez habituellement substitution. Cependant, vous ne devez pas mettre l'une des équations égal à X ou y par lui-même. Vous pouvez résoudre une équation pour 4X ou (y - 3)2 ou un autre terme qui apparaît dans l'autre équation. Tant que les termes correspondent, vous pouvez remplacer une valeur pour l'autre.

Exemples de questions

  1. Trouver les solutions communes du cercle (X - 2)2 + (y - 2)2 = 4 et la parabole 2y = X2 - 4X + 4.

    (0, 2), (2, 0), (4, 2). Réécrivez l'équation de la parabole que 2y = (X - 2)2. Ensuite, remplacer le (X- 2)2 terme dans la première équation à 2y et simplifier: 2y + (y - 2)2 = 4- 2y + y2 - 4y + 4 = 4- y2 - 2y = 0.

    Facteur les termes sur la gauche pour obtenir y(y - 2) = 0. Donc, y = 0 ou y = 2. Letting y = 0 dans l'équation de la parabole, vous obtenez 2 (0) = X2 - 4X + 4, ou 0 = (X - 2)2. Donc quand y = 0, X = 2.

    Ensuite, laissez- y = 2 dans l'équation de la parabole. Vous obtenez 2 (2) = X2 - 4X + 4- 4 = X2 - 4X + 4- 0 = X2 - 4X. Factoring, 0 = X(X - 4), de sorte X = 0 ou X = 4. Lorsque y = 2, X = 0 ou 4.

  2. Trouver les solutions communes de X2 + y2 = 100 et y2 + 6X = 100.

    (0, 10), (0, -10), (6, 8), (6, -8). Résolution de la deuxième équation y2, vous obtenez y2 = 100-6X. Remplace le y2 dans la première équation avec son équivalent pour obtenir X2 + 100-6X = 100.

    Simplifier et l'affacturage, l'équation devient X2 - 6X = X(X - 6) = 0. Donc, X = 0 ou X = 6. Remplacement X à 0 dans l'équation de la parabole, y2 = 100- y = +/- 10. Remplacement X avec 6 dans l'équation de la parabole, y2 + 36 = 100- y2 = 64 y = +/- 8.

Questions pratiques

  1. Trouver les solutions communes de X2 + y2 = 25 et X2 + 4y = 25.

  2. Trouver les solutions communes de X2 + y2 = 9 et 5X2 - 6y = 18.

Voici les réponses aux questions pratiques:

  1. La réponse est (5, 0), (-5, 0), (3 4,), (-3, 4).

    Résoudre l'équation du second pour X2 (vous obtenez X2 = 25 - 4y) Et de remplacer le X2 dans la première équation par son équivalent. La nouvelle équation lit 25-4y + y2 = 25. Simplifier, vous obtenez y2 - 4y = 0.

    Cette équation facteurs dans y(y - 4) = 0. Les deux solutions sont y = 0 et y = 4. Retour à la seconde équation, l'équation de la parabole, parce qu'il n'a qu'un seul carré terme (il a exposants inférieurs, afin de choisir cette équation vous permet d'éviter des solutions étrangères).


    Remplace le y dans cette équation avec 0 pour obtenir X2 + 4 (0) = 25 X2 = 25. Cette équation a deux solutions: X = 5 ou X = -5. Maintenant, revenir en arrière et de remplacer le y avec 4 dans l'équation de la parabole, X2 + 4 (4) = 25 X2 + 16 = 25 X2 = 9.

    Cette équation a également deux solutions: X = 3 ou X = -3. Le couplage entre le y's et leur respective X's, vous obtenez les quatre solutions différentes. Le cercle et la parabole se coupent en quatre points distincts.

  2. La réponse est

    image0.jpgimage1.jpg

    (0, -3).

    Éliminer la X Conditions: multiplier les termes de la première équation par -5 (qui vous donne -5X2 - 5y2= -45) Et ajoutez les deux équations ensemble. L'équation résultante est -5y2 - 6y = -27.

    Réécrivez l'équation, le mettre égal à 0, et le facteur. Vous obtenez 0 = 5y2 + 6y - 27 = (5y - 9) (y + 3). Utilisez la propriété de multiplication de zéro à résoudre pour les deux solutions de cette équation. Remplacement de la y dans la deuxième équation (l'équation de la parabole) avec

    image2.jpg

    vous obtenez

    image3.jpg

    Ensuite, diviser les deux côtés de l'équation par 5 et prendre la racine carrée de chaque côté:

    image4.jpg

    Pour trouver l'autre solution, laisser le y dans l'équation de la parabole être égal à -3. Vous obtenez 5X2 - 6 (-3) = 18- 5X2 + 18 = 18 5X2 = 0. Donc, X = 0. Le cercle et la parabole se croisent ou contact en trois points distincts.


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