Trouver les intersections de lignes et de paraboles

Une ligne peut couper à travers une parabole en deux points, ou il peut juste être tangente à la parabole et de toucher à un point. Et puis, malheureusement, une ligne et une parabole peuvent jamais se rencontrer. Lorsque les systèmes d'équations impliquant des lignes et des paraboles de résolution, que vous utilisez habituellement la méthode de substitution - pour résoudre X

Sommaire

ou y dans l'équation de la ligne et son remplacement dans l'équation de la parabole.

Parfois, les équations se prêtent à l'élimination - lors de l'ajout des équations (ou des multiples des équations) élimine ainsi l'une des variables entièrement parce que son coefficient devient 0. élimination fonctionne qu'occasionnellement, mais la substitution fonctionne toujours.

Exemples de questions

  1. Trouver la solution commune (s) dans les équations y = -5X2 + 12X + 3 et 8X + y = 18.

    Les points d'intersection sont (1, 10), (3, -6). Voici une autre façon d'écrire cette solution: Lorsque X = 1, y = 10, et lorsque X = 3, y = -6. Pour trouver ces solutions, réécrire l'équation de la ligne comme y = 18-8X.

    Remplace le y dans l'équation de la parabole avec son équivalent pour obtenir 18-8X = -5X2 + 12X + 3. Déplacez tous les termes à la gauche et de combiner des termes semblables, vous donnant 5X2 - 20X + 15 = 0. Divide chaque terme par 5, puis facteur, qui vous donne l'équation 5 (X2 - 4X + 3) = 5 (X - 3) (X - 1) = 0.

    En utilisant la propriété de multiplication de zéro (dans l'ordre pour un produit égal à 0, l'un des facteurs doit être 0), vous savez que X = 3 ou X = 1. Remplacer ces valeurs dans l'équation de la ligne pour obtenir le correspondant y-des valeurs.

    Toujours substituer dans l'équation avec les exposants inférieurs. Vous pouvez éviter la création de solutions étrangères.

  2. Trouver la solution commune (s) dans les équations y = X2 - 4X et 2X + y + 1 = 0

    (1, -3). Résoudre pour y dans l'équation de la ligne pour obtenir y = -2X - 1. Remplacer cette valeur dans l'équation de la parabole pour obtenir -2X - 1 = X2 - 4X. Déplacer les termes à la droite et en simplifiant, 0 = X2 - 2X + 1 = (X - 1)2.

    La seule solution est X = 1. Remplacement X avec 1 dans l'équation de la ligne, vous trouvez que y = -3. La ligne est tangente à la parabole au point d'intersection, ce qui explique pourquoi ce problème n'a qu'une solution.

Questions pratiques

  1. Trouver la solution commune (s) dans les équations y = X2 + 4X + 7 et 3X - y + 9 = 0.

  2. Trouver la solution commune (s) dans les équations y = 4X2 - 8X - 3 et 4X + y = 5.

Voici les réponses aux questions pratiques:


  1. La réponse est (-2, 3), (1, 12).

    Résoudre pour y dans la seconde équation (vous obtenez y = 3X + 9), et en ce que le substitut équation de la parabole: 3X + 9 = X2 + 4X + 7. Déplacez tous les termes à la droite et prendre en compte l'équation: 0 = X2 + X - 2 = (X + 2) (X - 1).

    Ainsi, X = -2 Ou 1. Letting X = -2 Dans l'équation de la droite, 3 (-2) - y + 9 = 0- -6 - y + 9 = 0- -y = -3- y = 3. Et quand X = 1 dans l'équation de la ligne, 3 (1) - y + 9 = 0- 3 - y + 9 = 0- -y = -12- y = 12.

    Lors de la résolution pour la seconde coordonnée dans la solution d'un système d'équations, utiliser l'équation plus simple - celle avec les petits exposants - pour éviter d'introduire des solutions étrangères.

  2. La réponse est (-1, 9), (2, -3).

    Résoudre pour y dans la seconde équation (vous obtenez y = 5-4X) Et remplacer l'équivalent de y dans l'équation de la parabole: 5-4X = 4X2 - 8X - 3. Déplacez tous les termes à la droite et prendre en compte l'équation: 0 = 4X2 - 4X - 8 = 4 (X2 - X - 2) = 4 (X + 1)(X - 2).

    En utilisant la propriété de multiplication de zéro, vous trouvez que X = -1 Ou X = 2. Lorsque X = -1 Dans l'équation de la ligne, 4 (-1) + y = 5- -4 + y = 5- y = 9. Et en y substituant X = 2 dans l'équation de la droite, quatre (2) + y = 5 + 8 y = 5- y = -3.


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