Systèmes de trois équations linéaires

Lorsque vous travaillez avec des systèmes d'équations, vous pouvez résoudre pour une variable à la fois. Donc, si une troisième équation linéaire arrive (ce qui porte, bien sûr, sa variable z

Sommaire

), Ainsi, trois est une foule. Cependant, vous pouvez facilement faire face à toutes les variables aussi longtemps que vous vous adressez à tour de rôle.

Vous résolvez les systèmes de trois (ou plus) des équations linéaires en utilisant la méthode d'élimination:

  1. A partir de trois équations, d'éliminer une variable pour créer deux équations à deux variables restantes.

    Le premier couplage avec la seconde équation, la seconde avec la troisième, la première ou de la troisième afin d'éliminer l'une des variables. Ensuite, choisissez un appariement différente et d'éliminer la même variable.

  2. De ces deux nouvelles équations, d'éliminer une seconde variable de sorte que vous pouvez résoudre pour celui qui reste.

  3. Substituer de nouveau dans les autres équations pour trouver les valeurs des autres variables.

    Branchez la première variable que vous avez résolu pour dans l'une des équations à deux variables que vous avez trouvé à l'étape 1. Puis résoudre pour la troisième variable en branchant les valeurs connues dans l'une des équations originales.

Exemple de question

  1. Trouver la solution commune du système d'équations X + 5y - 2z = 2, 4X + 3y + 2z = 2, 3 etX - 3y - 5z = 38.

    X= 4, y = -2, z = -4 - Également écrit que le triplet (4, -2, -4). Vous pouvez choisir de supprimer l'une des trois variables, mais il ya généralement un bon-mieux-mieux-pire-pire décision qui peut être fait.

    En ce problème, le meilleur choix est d'éliminer la X variable. La X la seule variable a une coefficient de dans toutes les équations. Vous recherchez un 1 ou -1 ou pour des multiples de la même numéro dans les coefficients d'une seule variable.

    Faire deux paires d'élimination. Multiplier la première équation de -4 et l'ajouter à la deuxième équation:

    image0.jpg

    Pour la deuxième appariement, multiplier la première équation de -3 et l'ajouter à la troisième équation:

    image1.jpg

    Puis ajouter les deux équations qui en résultent (après la multiplication de la deuxième équation par -10 sorte que vous pouvez éliminer le z's):

    image2.jpg

    Diviser chaque côté de l'équation par 163 pour obtenir y = -2. Remplace le y à -18y + z = 32 avec le -2, et vous obtenez -18 (-2) + z = 32 + 36 z = 32 z = -4.

    Maintenant, prenez les valeurs de y et z et les mettre dans l'une des équations à résoudre pour originaux X. Vous obtenez X + 5 (-2) - 2 (-4) = 2- X - 10 + 8 = 2- X - 2 = 2- X = 4.

Questions pratiques

  1. Trouver la solution commune du système d'équations 3X + 4y - z = 7, 2X - 3y + 3z = 5, et X + 5y - 2z = 0.


  2. Trouver la solution commune du système d'équations 8X + 3y - 2z = -2, X - 3y + 4z = -13, 6 etX + 4y - z = -3.

Voici les réponses aux questions pratiques:

  1. La réponse est X = 4, y = -2, z = -3.

    Éliminer X's en multipliant par la troisième équation -3 et en l'ajoutant à la première equation- vous obtenez -11y + 5z = 7. Puis éliminer Xest dans une autre combinaison par multiplication de la troisième équation originale de -2 et de l'ajouter à la deuxième equation- vous obtenez -13y + 7z La règle de Cramer = 5. Utilisez sur ces deux équations résultantes:

    image3.jpgimage4.jpg

    Maintenant, pour substituer -2 y et -3 pour z dans la troisième équation originale pour résoudre X. Vous obtenez X + 5 (-2) - 2 (-3) = 0- X - 10 + 6 = 0- X - 4 = 0- X = 4.

  2. La réponse est X = -1, y = 0, z = -3.

    Éliminer z's par multiplication de la première équation par deux et en l'ajoutant à la seconde équation pour obtenir 17X + 3y = -17. Puis éliminer zest dans une autre combinaison en multipliant par la troisième équation 4 et l'ajouter à la deuxième equation- vous obtenez 25X + 13y = -25. Utilisez la règle de Cramer sur ces deux équations résultantes:

    image5.jpgimage6.jpg

    Maintenant substituer X = -1 Et y = 0 dans le troisième équation d'origine pour obtenir 6 (-1) + 4 (0) - z -3- = -6 - z = -3- -z = 3- z = -3.


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