Calculer la pente d'une fonction à l'aide du quotient de différence

Vous pouvez calculer la pente d'une fonction en utilisant le quotient de différence. Le quotient de différence vous permet de calculer une pente si vous ne possédez pas d'abord deux points à brancher sur la formule de la pente.

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Pour calculer une pente, vous avez besoin de deux points à brancher sur cette formule. Pour une ligne, cela est facile. Vous choisissez deux points quelconques de la ligne et branchez. Mais il est pas si simple, si vous voulez, par exemple, la pente de la parabole F (X) = X2 au point (2, 4). Découvrez le premier chiffre.

Le graphique de & lt; i>FLT; / i> (lt; i> XLT; / i>) = lt; i> XLT; / i> lt; sup> 2LT; / sup> (ou lt; i> YLT; / i> = lt; i> XLT; / i> lt; sup> 2LT; / sup>) avec un
Le graphique de la F(X) = X2 (ou y = X2) Avec une ligne tangente à (2, 4).

Vous pouvez voir la ligne tracée tangente à la courbe au (2, 4). Parce que la pente de la tangente est le même que la pente de la parabole au (2, 4), tout ce que vous avez besoin est la pente de la tangente à vous donner la pente de la parabole. Mais vous ne savez pas l'équation de la tangente, de sorte que vous ne pouvez pas obtenir le deuxième point - en plus (2, 4) - que vous avez besoin pour la formule de la pente.

Voici comment les inventeurs du calcul obtenu autour de ce barrage routier. La figure suivante montre à nouveau la ligne de tangente et une sécante coupant la parabole en (2, 4) et au (10, 100).

Définition de sécante: Une sécante est une ligne qui coupe une courbe en deux points. Ceci est un peu simpliste, mais il va faire.

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Le graphique de la F(X) = X2 avec une ligne de tangente et une sécante.

La pente de cette ligne sécante est donnée par la formule de la pente:

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Vous pouvez voir que cette ligne sécant est plus raide que la tangente, et donc la pente de la sécante, 12, est supérieure à la pente que vous cherchez.

Maintenant, ajoutez un point de plus à (6, 36) et en tirer une autre sécante utilisant ce point et (2, 4) à nouveau, comme le montre la figure suivante.

Le graphique de & lt; i>FLT; / i> (lt; i> XLT; / i>) = lt; i> XLT; / i> lt; sup> 2LT;. / sup> avec une tangente et deux lignes sécantes
Le graphique de la F(X) = X2 avec une ligne tangente et deux lignes sécantes.

Calculer la pente de cette deuxième sécantes:

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Vous pouvez voir que ce sécante est une meilleure approximation de la tangente que la première sécantes.

Maintenant, imaginez ce qui se passerait si vous attrapé le point (6, 36) et il a glissé en bas de la parabole vers (2, 4), en faisant glisser la sécante avec elle. Pouvez-vous voir que le point se rapproche et plus proche (2, 4), la ligne sécante se rapproche et plus proche de la tangente, et que la pente de cette sécante devient donc de plus en plus proche de la pente de la tangente?

Ainsi, vous pouvez obtenir la pente de la tangente si vous prenez le limite des pentes de ce mouvement sécantes. Donnons les coordonnées du point mobile (X2, y2). Comme ce point (X2, y2) Glisse rapproche de (X1, y1), À savoir (2, 4), le courir, ce qui équivaut X1 - X1, se rapproche et plus proche de zéro. Alors, voici la limite que vous avez besoin:

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Regardez ce qui arrive à cette limite lorsque vous branchez en quatre points sur la parabole qui sont plus proches et plus proche (2, 4):

Lorsque le point (X2, y2) Coulisse à (3, 9), la pente est
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ou 5.
Lorsque le point glisse à (2.1, 4.41), la pente est
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ou 4.1.
Lorsque le point de glisse (2,01, 4,0401), la pente est de 4,01.
Lorsque le point de glisse (2.001, 4,004001), la pente est 4.001.

Ressembler sûrs la pente se dirige vers 4.

Comme avec tous les problèmes de limites, la variable dans ce problème, X2 approches mais obtient jamais réellement à la flèche numéro (2 dans ce cas). Si il est arrivé à 2 - qui se passerait si vous glissé le point que vous attrapé le long de la parabole jusqu'à ce qu'il était en fait au-dessus de (2, 4) - vous obtiendrez

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qui est indéfini. Mais, bien sûr, la pente à (2, 4) est précisément la pente que vous voulez - la pente de la ligne lorsque le point t la terre au-dessus de (2, 4). Là est la beauté du processus de limite. Avec cette limite, vous obtenez le exact pente de la tangente ligne à (2, 4), même si la fonction de limite,

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génère des pentes sécante lignes.

Voici à nouveau l'équation de la pente de la tangente:

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Et la pente de la tangente est - vous l'aurez deviné - le dérivé.

Signification de la dérivé: La dérivée d'une fonction F(X) À un certain nombre X = c, écrit

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est la pente de la tangente à F tracée à c.

La fraction de la pente

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est exprimée avec la terminologie algèbre. Maintenant, vous pouvez réécrire pour lui donner ce look de calcul prétentieux. Mais d'abord, enfin, la définition que vous avez été en attente pour.

Définition de la différence quotient: Il ya un terme de calcul de fantaisie pour la fraction générale de la pente,

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lorsque vous écrivez dans la façon de calcul de fantaisie. A est une fraction quotient, droit? Et tous les deux y2 - y1 et X2 - X1 sont différences, droit? Donc, voil # 224-, on l'appelle le différence quotient. C'est ici:

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(Ceci est la façon la plus courante de la rédaction du quotient de différence. Vous pouvez courir à travers les autres, des moyens équivalents.)

Ok, nous allons exposer ce processus dans lequel

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se transforme en le quotient de différence.

Tout d'abord, la courir, X2 - X1 (dans cet exemple, X2 - 2), est appelée h. Ensuite, parce que X1 = 2 et la courir égal à égal h, X2 est égale à 2 + h. Vous écrivez ensuite y1 comme F(2) et y2 comme F(2 + h). Faire toutes les substitutions vous donne la dérivée de X2 à X = 2:

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Rappelez-vous que

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est tout simplement la contraction

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escalier étape, vous pouvez voir dans la précédente figure comme le point glisse vers le bas de la parabole vers (2, 4).

La figure suivante est fondamentalement la même que la précédente, sauf que, au lieu de points comme exactes (6, 36) et (10, 100), le point de glissement présente les coordonnées générales de (2 + h, F (2 + h)), et le augmenter et le courir sont exprimés en termes de h.

Graphique de & lt; i>FLT; / i> (lt; i> XLT; / i>) = lt; i> XLT; / i> lt; sup> 2LT; / sup> montrant comment une limite produit la pente de la t
Graphique de F (X) = X2 montrant comment une limite produit de la pente de la tangente à (2, 4).

Donc, ce chiffre est le graphique ultime pour

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Êtes-vous confus par ces deux chiffres? Ne vous inquiétez pas. Ils montrent tous deux la même chose. Ces deux chiffres sont des représentations visuelles de

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Faire le calcul vous donne, enfin, la pente de la tangente en (2, 4):

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Ainsi, la pente au point (2, 4) est de 4.

Définition principale de la dérivé: Si vous remplacez le point (2, F(2)) dans l'équation de limite avec le point de vue général (X, F (X)), Vous obtenez la définition générale de la dérivée en fonction de X:

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Donc enfin vous voyez ce que le dérivé est défini comme la limite du quotient de différence.

La figure suivante montre cette définition générale graphiquement. A noter que cette figure est pratiquement identique à la précédente, sauf que Xs remplacer les 2s dans la figure précédente et que le point mobile dans cette figure glisse vers le bas vers n'importe quel ancien point (X, F (X)) Au lieu de vers le point spécifique (2, F(2)).

Graphique de & lt; i>FLT; / i> (lt; i> XLT; / i>) = lt; i> XLT; / i> lt; sup> 2LT; / sup> montrant comment une limite produit la pente de la ta
Graphique de F(X) = X2 montrant comment une limite produit de la pente de la tangente au point générale (X, F(X)).

Maintenant travailler sur cette limite et obtenir le dérivé de la parabole, F(X) = X2:

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Ainsi, par cette parabole, le dérivé (ce qui est la pente de la tangente à chaque valeur X) Est égal à 2X. Branchez un nombre quelconque dans X, et vous obtenez la pente de la parabole à ce X-valeur. Essayez-le.

Le chiffre tri final des résume (de manière simplifiée) toutes les idées précédentes difficiles sur le quotient de différence.

Résumant les idées
Résumant les idées

Comme les trois figures précédentes, le chiffre final contient une pente en escalier de base, une sécante, et une tangente. La pente de la sécante est

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La pente de la tangente est

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et vous pouvez voir pourquoi il en est l'un des symboles utilisés pour le dérivé. Comme la ligne sécante en escalier réduit à rien, ou, en d'autres termes, dans la limite de

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