Déterminer si une série de Taylor est convergente ou divergente

Parce que la série de Taylor est une forme de séries de puissance, chaque série de Taylor a aussi un intervalle de convergence. Lorsque cet intervalle est l'ensemble des nombres réels, vous pouvez utiliser la série pour trouver la valeur de F(X) Pour chaque valeur réelle de X.

Cependant, lorsque l'intervalle de convergence pour une série de Taylor est délimitée - qui est, quand il diverge pour certaines valeurs de X - vous pouvez l'utiliser pour trouver la valeur de F(X) seulement sur son intervalle de convergence.

Par exemple, voici les trois séries importante Taylor:

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Tous les trois de ces séries convergent pour toutes les valeurs réelles de X, de sorte que chaque égale à la valeur de sa fonction respective.

Maintenant, considérons la fonction suivante:

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Vous avez besoin d'exprimer cette fonction comme une série de Maclaurin, qui prend cette forme:

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La notation F(n) moyens “ le ne dérivé de F.” Cela devient plus clair dans la version élargie de la série de Maclaurin:

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Pour ce faire, suivez ces étapes:

  1. Trouver les premiers dérivés de

    image4.jpg
  2. jusqu'à ce que vous reconnaissez un modèle:

    image5.jpg
  3. Suppléant 0 pour X dans chacun de ces dérivés:

    image6.jpg
  4. Branchez ces valeurs, terme à terme, dans la formule de la série de Maclaurin:

    image7.jpg
  5. Si possible, exprimer la série en notation sigma:

    image8.jpg

    Pour tester cette formule, vous pouvez l'utiliser pour trouver F(X) quand

    image9.jpg

Vous pouvez vérifier l'exactitude de cette expression en remplaçant

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Comme vous pouvez le voir, la formule donne la bonne réponse. Maintenant, essayez de l'utiliser pour trouver F(X) quand X = 5, notant que la bonne réponse devrait être

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Ce qui s'est passé? Cette série converge seulement sur l'intervalle (-1, 1), de sorte que la formule ne produit que la valeur F(X) quand X est dans cet intervalle. Quand X est en dehors de cet intervalle, la série diverge, si la formule est invalide.


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