Comment travailler avec les limites des fonctions

Non chaque fonction est définie à chaque valeur de X. Fonctions rationnelles, par exemple, ne sont pas définis si le dénominateur de la fonction est 0. Vous pouvez utiliser un limite (qui, si elle existe, représente une valeur que la fonction tend à se rapprocher comme variable indépendante approche d'un nombre donné) pour regarder une fonction pour voir ce qu'il aurait faire si elle le pouvait.

Pour ce faire, vous jetez un oeil à la comportement de la fonction comme variable X se rapproche de la valeur (s) undefined. Par exemple, cette fonction est indéfini au X = 3:

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Vous pouvez regarder les valeurs de F(X) à X = 2, X = 2,9, X = 2.99, X = 2,999, et ainsi de suite. Ensuite, vous pouvez regarder les valeurs de F(X) À nouveau à partir de l'autre côté: X = 4, X = 3.1, X = 3,01, et ainsi de suite. Toutes ces valeurs de F(X) Sont définies, sauf pour X = 3.

Pour exprimer une limite dans les symboles, vous écrivez

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qui est lu comme "la limite que X approches c de F(X) est L." L est la limite que vous cherchez. Pour la limite d'une fonction d'exister, la limite gauche et la limite droite doivent tous deux existent et soient égaux:

  • UN limite gauche de (X) Est la valeur qui F(X) Approche où X approches n à partir des valeurs inférieures à c (à partir de la gauche; côté du graphique).

  • UN limite de droite de F(X) Est l'opposite- exacte, il est la valeur qui F(X) Approche où X approches c à partir des valeurs supérieures à c (à partir de la droite, côté du graphique).

Si, et seulement si, la gauche; limite de la main est égale à la droite; limite de la main pouvez-vous dire que la fonction a une limite pour cette valeur particulière de c.

Mathématiquement, vous laisseriez F être une fonction et laisser c et L être des nombres réels. alors

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exactement quand

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Dans le langage du monde réel, cette configuration signifie que si vous avez pris deux crayons, une dans chaque main, et a commencé à tracer le long du graphe de la fonction dans des mesures égales, les deux crayons auraient à répondre en un seul endroit dans le milieu pour que la limite d'exister. (La figure montre que même si la fonction est pas défini au X = 3, la limite existe en tant que X approches 3.)

Trouver la limite d'une fonction graphique.
Trouver la limite d'une fonction graphique.

Pour les fonctions qui sont bien relié, les crayons répondent toujours par la suite dans un endroit particulier (en d'autres termes, une limite serait toujours exister). Cependant, parfois, ils ne sont pas (comme vous voyez dans la figure comme X approches -5). La populaire fonction d'unité de l'étape est défini comme étant F(X) = 0 pour

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et F(X) = 1 pour X > 0. Si vous dessinez cette fonction, vous voyez un saut de l'étape unitaire X = 0.


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