Comment différencier fonctions inverses

Il ya une formule difficile prospectifs impliquant les dérivées de fonctions inverses, mais avant d'arriver à cela, regardons la figure ci-dessous, qui résume bien l'idée.

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Ce chiffre montre une paire de fonctions inverses, F et g. Fonctions inverses sont symétriques par rapport à la ligne, y = X. Comme pour toute paire de fonctions inverses, si le point (10, 4) est sur une fonction, (4, 10) est en son inverse. Et, en raison de la symétrie des graphiques, vous pouvez voir que les pentes de ces points sont inverses:

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Voilà comment l'idée fonctionne graphiquement.

L'explication algébrique est un peu plus compliqué, cependant:

  1. Ecrire le point (10, 4) F comme (10, F (10)).

  2. Exprimez la pente à ce point (qui est le dérivé) comme

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  3. Ecrire le point (4, 10) sur g en tant que (4, g (4)).

  4. Car F (10) = 4, remplacer les 4s dans (4, g (4)) avec F (10) s.

    Cela vous donne (F (10), g (F (10))).

  5. Exprimez la pente (dérivé) à ce point, que

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    Cette équation difficile prospectifs exprime rien de plus et rien de moins que les deux triangles sur les deux fonctions dans la figure précédente.

    image4.jpg

En termes, cette formule indique que la dérivée d'une fonction, F, en ce qui concerne X, est l'inverse de la dérivée de son inverse par rapport à F.


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