Comment faire des approximations linéaires

Parce que les fonctions ordinaires sont localement linéaire (ce qui signifie droite) - et de l'autre vous zoomez sur eux, ils regardent la-une tangente plus droite de la ligne à une fonction est une bonne approximation de la fonction près du point de tangence.

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Cette figure montre le graphique de

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et une ligne tangente à la fonction au point (9, 3). Vous pouvez voir que près (9, 3), la courbe et la tangente sont pratiquement indiscernables.

Déterminer l'équation de cette tangente est un jeu d'enfant. Vous avez un point, (9, 3), et la pente est donnée par la dérivée de F à 9:

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Maintenant, il suffit de prendre cette pente, 1/6, et le point (9, 3), et branchez-les dans la forme de point la pente:

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Zoomer sur le point (9, 3) une ou deux fois, et vous voyez que la courbe devient plus droit et plus droite et la ligne de la courbe et la tangente se rapprocher et plus proche.

Maintenant, dites que vous voulez approcher la racine carrée de 10. Parce que 10 est assez proche de 9, et parce que vous pouvez le voir sur la figure que F(X) Et sa ligne de tangence sont proches les uns aux autres à X = 10, la y-coordonnées de la ligne à X = 10 est une bonne approximation de la valeur de fonction au X = 10, à savoir

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Il suffit de brancher 10 dans l'équation de la ligne pour votre rapprochement:

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Ainsi, la racine carrée de 10 est d'environ

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Ceci est seulement environ 0,004 plus de la réponse exacte de 3,1623 # Erreur 133 .Le est à peu près un dixième de pour cent.

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Cette forme facilite pour faire le calcul et plus facile à comprendre ce qui se passe lorsque vous calculez une approximation linéaire. Voici pourquoi. Vous savez que la tangente passe par le point (9, 3), à droite? Et vous savez la pente de la ligne est de 1/6. Alors, vous pouvez commencer à (9, 3) et aller vers la droite (ou la gauche) le long de la ligne dans le mode de l'escalier-étape, comme indiqué dans la figure ci-dessous: plus de 1, jusqu'à 1 / 6- plus de 1 jusqu'à 1 / 6, et ainsi de suite.

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Donc, quand vous faites un rapprochement, vous commencez à une y-valeur de 3 et aller jusqu'à 1/6 pour chaque 1 vous allez vers la droite. Ou si vous allez à gauche, vous descendez 1/6 pour chaque 1 vous allez vers la gauche. Lorsque l'équation de la ligne est écrite dans le formulaire ci-dessus, le calcul d'une approximation linéaire parallèle à ce régime en escalier.

La figure montre les valeurs approximatives pour les racines carrées de 7, 8, 10, 11, et 12. Voilà comment vous venez avec ces valeurs.

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