La façon de résoudre un système d'équations en utilisant l'inverse d'une matrice

Si vous avez un coefficient lié à une variable d'un côté d'une équation matricielle, vous pouvez multiplier par l'inverse du coefficient de faire ce coefficient disparaître et vous laisser avec juste la variable. Par exemple, si 3X = 12, comment voulez-vous résoudre l'équation? Vous souhaitez diviser les deux côtés par 3, qui est la même chose que la multiplication par 1/3, pour obtenir X = 4. Donc, il va avec les matrices.

En forme de variable, une fonction inverse est écrit que F -1(X), Où F -1 est l'inverse de la fonction F. Vous le nom une matrice inverse de façon similaire à l'inverse de la matrice A est A-1. Si A, B, et C sont des matrices dans l'équation de la matrice AB = C, et que vous voulez résoudre pour B, comment faites-vous cela? Il suffit de multiplier par l'inverse de la matrice A (si l'inverse existe), ce qui vous écrivez comme ceci:

UN-1[AB] = A-1C

Donc, la version simplifiée est B = A-1C.

Maintenant que vous avez simplifié l'équation de base, vous devez calculer la matrice inverse afin de calculer la réponse au problème.

Tout d'abord, vous devez établir que seuls les matrices carrées ont inverses - en d'autres termes, le nombre de lignes doit être égal au nombre de colonnes. Et même alors, pas chaque matrice carrée a un inverse. Si le déterminant d'une matrice est différent de 0, la matrice est inversible.

Quand une matrice a un inverse, vous avez plusieurs façons de trouver ce, en fonction de la taille de la matrice est. Si la matrice est une matrice 2-x-2, alors vous pouvez utiliser une formule simple pour trouver l'inverse. Cependant, rien de plus de 2 x 2, vous devez utiliser un programme de calculatrice graphique ou un ordinateur (de nombreux sites Web peuvent trouver inverses de la matrice pour vous »).

Si vous ne l'utilisez une calculatrice graphique, vous pouvez augmenter votre, matrice inversible original avec la matrice d'identité et utiliser les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice d'identité où votre matrice originelle était une fois. Ces calculs laissent la matrice inverse où vous avez eu à l'origine l'identité. Ce processus, toutefois, est plus difficile.

Cela dit, voici comment vous trouvez une inverse d'une matrice 2-x-2:

Si la matrice A est la matrice 2-x-2

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son inverse est le suivant:

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Il suffit de suivre ce format avec un 2-x-2 matrice que vous êtes invité à trouver.

Armé d'un système d'équations et de la connaissance de la façon d'utiliser des matrices inverses, vous pouvez suivre une série d'étapes simples pour arriver à une solution au système, à nouveau en utilisant la matrice vieux fidèle. Par exemple, vous pouvez résoudre le système qui suit en utilisant des matrices inverses:

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Ces étapes vous montrent le chemin:

  1. Écrire système dans son équation matricielle.

    Lorsque écrite comme une équation matricielle, vous obtenez

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  2. Insérer l'inverse de la matrice de coefficients de l'équation de matrice.


    Vous pouvez utiliser cette formule inverse:

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    Dans ce cas, un = 4, b = 3, c = -10, Et = -2. Par conséquent ad - bc = 22. Par conséquent, la matrice inverse est

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  3. Multiplier l'inverse de la matrice de coefficients à l'avant des deux côtés de l'équation.

    Vous avez maintenant l'équation suivante:

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  4. Annuler la matrice sur la gauche et multiplier les matrices sur la droite.

    Une fois la matrice inverse d'une matrice annule. Vous êtes de gauche avec

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  5. Multipliez le scalaire pour résoudre le système.

    Vous finissez avec le X et y valeurs:

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Notez que la multiplication scalaire est généralement plus facile après que vous multipliez les deux matrices.


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