Comment utiliser l'élimination de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations

Élimination de Gauss est probablement la meilleure méthode pour résoudre des systèmes d'équations si vous ne disposez pas d'un programme de calculatrice graphique ou un ordinateur pour vous aider.

Les objectifs de l'élimination de Gauss sont de rendre l'élément supérieur gauche au coin d'un 1, utiliser les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir des 0 dans toutes les positions en dessous de ce premier 1, obtenir 1s pour grands coefficients dans chaque ligne diagonale du coin supérieur gauche au coin inférieur droit coin, et obtenir des 0-dessous tous les coefficients de premier plan. Fondamentalement, vous éliminez toutes les variables dans la dernière ligne, à l'exception d'un seul, toutes les variables sauf pour deux dans l'équation ci-dessus celui-là, et ainsi de suite et ainsi de suite à l'équation sommet, qui a toutes les variables. Ensuite, vous pouvez utiliser le verso de substitution pour résoudre pour une variable à la fois en branchant les valeurs que vous connaissez dans les équations de bas en haut.

Vous accomplissez cette élimination en éliminant le X (ou toute variable qui vient en premier) dans toutes les équations sauf pour le premier. Ensuite éliminer la deuxième variable dans toutes les équations, sauf pour les deux premiers. Ce processus se poursuit, ce qui élimine une variable par ligne plus, jusqu'à ce qu'une variable est laissé dans la dernière ligne. Ensuite résoudre pour cette variable.

Vous pouvez effectuer trois opérations sur des matrices afin d'éliminer les variables d'un système d'équations linéaires:

  • Vous pouvez multiplier toute ligne par une constante (autre que zéro).

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    multiplie la troisième rangée de -2 pour vous donner une nouvelle ligne de trois.

  • Vous pouvez passer toutes les deux rangées.

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    swaps rangs un et deux.

  • Vous pouvez ajouter deux lignes ensemble.

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    ajoute des lignes un et deux, et l'écrit dans la deuxième rangée.

Vous pouvez même effectuer plus d'une opération. Vous pouvez multiplier une rangée par une constante, puis l'ajouter à une autre ligne à modifier cette ligne. Par exemple, vous pouvez multiplier rangée un par 3, puis l'ajouter à la deuxième ligne pour créer une nouvelle ligne de deux:

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Considérons la matrice augmentée suivante:

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Maintenant, jetez un oeil sur les objectifs de l'élimination de Gauss, afin de compléter les étapes suivantes pour résoudre cette matrice:

  1. Remplissez le premier but: pour obtenir 1 dans le coin supérieur gauche.

    Vous l'avez déjà!

  2. Remplissez le deuxième but: obtenir des 0 sous le 1 dans la première colonne.

    Vous devez utiliser le combo de deux opérations de matrice ensemble ici. Voici ce que vous devriez demander: «Que dois-je besoin d'ajouter à la ligne de deux pour faire un 2 devenir un 0" La réponse est -2.

    Cette étape peut être obtenue en multipliant la première rangée de -2 et en ajoutant la ligne résultant de la deuxième rangée. En d'autres termes, vous effectuez l'opération

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    qui produit cette nouvelle ligne:

  1. (-2 -4 -6: 14) + (2 -3 -5: 9) = (0 -7 -11: 23)

Vous avez maintenant cette matrice:

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  • Dans la troisième rangée, obtenir un 0 dans le cadre du 1.

    Pour faire cette étape, vous avez besoin de l'opération

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    Avec ce calcul, vous devriez maintenant avoir la matrice suivante:

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  • Obtenez un 1 dans la deuxième rangée, deuxième colonne.

    Pour faire cette étape, vous devez multiplier par un constant- en d'autres termes, la ligne se multiplient deux par la réciprocité appropriée:

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    Ce calcul donne une nouvelle deuxième rangée:

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  • Obtenir un 0 dans le cadre du 1 vous avez créé dans la deuxième rangée.

    Retour au bon fonctionnement de combo vieux pour la troisième rangée:

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    Voici encore une autre version de la matrice:

    image12.jpg
  • Obtenez une autre 1, cette fois dans la troisième rangée, troisième colonne.

    Multipliez la troisième rangée par l'inverse du coefficient d'obtenir un 1:

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    Vous avez terminé la diagonale principale après avoir fait le calcul:

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  • Vous avez maintenant une matrice en matrice échelonnée, ce qui vous donne les solutions lorsque vous utilisez retour substitution (la dernière ligne implique que 0X + 0y + 1z = 4, ou z = -4). Cependant, si vous voulez savoir comment obtenir cette matrice en forme réduite de Gauss de trouver les solutions, suivez ces étapes:

    1. Obtenez un 0 dans la deuxième ligne, la troisième colonne.

      Multipliant la troisième rangée par la constante -11/7 puis en ajoutant des lignes deux et trois

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      vous donne la matrice suivante:

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    2. Obtenez un 0 dans la première rangée, la troisième colonne.

      L'opération

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      vous donne la matrice suivante:

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    3. Obtenez un 0 dans la première rangée, deuxième colonne.

      Enfin, l'opération

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      vous donne cette matrice:

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    Cette matrice, en forme réduite de Gauss, est en fait la solution au système: X = -1, y = 3, et z = -4.


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