Comment utiliser le test de comparaison de limite pour déterminer si une série converge

L'idée derrière le test de comparaison limite est que si vous prenez une série convergente connu et multipliez chacun de ses termes par un nombre, alors que la nouvelle série converge également. Et il n'a pas d'importance si le multiplicateur est, disons, 100 ou 10 000, ou 1 / 10.000, car un nombre quelconque, grande ou petite, fois la somme finie de la série originale est toujours un nombre fini. La même chose vaut pour une série divergente multiplié par un nombre quelconque. Cette nouvelle série diverge aussi parce que tout nombre, grand ou petit, les temps infini est toujours infini. Ceci est plus simplifiée - il est seulement dans la limite d'une série qui est en quelque sorte d'un multiple de l'autre - mais il transmet le principe de base.

On peut découvrir si une telle connexion existe entre deux séries en examinant le rapport de la nConditions e des deux séries comme n tend vers l'infini. Voici le test.

Comparaison limite Test: Pour deux séries,

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L est fini et positif, soit deux séries convergent ou divergent à la fois.

Ceci est un bon test à utiliser lorsque vous ne pouvez pas utiliser le test de comparaison directe pour votre série, car il va dans le mauvais sens - en d'autres termes, votre série est plus gros qu'un connue convergent série ou plus petit qu'un connue divergent série.

Voici un exemple: Est-

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converger ou diverger? Cette série ressemble à la convergence p-série

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de sorte que est votre indice de référence. Mais vous ne pouvez pas utiliser le test de comparaison directe parce que les termes de votre série sont plus grands que

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Au lieu de cela, vous utilisez le test de comparaison de limite.

Prendre la limite du rapport de la nConditions e des deux séries. Il n'a pas d'importance série que vous mettez dans le numérateur et dans le dénominateur qui, mais si vous mettez le connu, la série de référence dans le dénominateur, ce qui rend un peu plus facile à faire ces problèmes et à saisir les résultats.

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Parce que la limite est finie et positive, et parce que la série de référence converge, votre série doit aussi converger.

Ainsi,

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converge.

Essayons un autre exemple. Déterminer la convergence ou la divergence des

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Le test de comparaison limite est une bonne année pour la série, comme celui-ci, dans lequel le terme général est un rationnel fonction - en d'autres termes, lorsque le terme général est un quotient de deux polynômes.

  1. Déterminer la série de référence.


    Prenez la plus grande puissance de n dans le numérateur et le dénominateur - sans tenir compte des coefficients et toutes les autres conditions - puis simplifier. Comme ça:

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    La série de référence est donc

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    la divergent série harmonique.

  2. Prendre la limite du rapport de la nConditions e des deux séries.

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  3. Parce que la limite de l'étape 2 est finie et positive, et parce que la série de référence diverge, votre série doit également diverger.

    Ainsi,

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    diverge.

Contrairement à la définition formelle du test de comparaison limite (au début de cet article), la limite, L, n'a pas à être fini et positif pour le test fonctionne. Tout d'abord, si la série de référence est convergente, et vous le mettez dans le dénominateur de la limite, et la limite est zéro, alors votre série doit aussi converger. Si la limite est de l'infini, vous ne pouvez pas conclure quoi que ce soit. Et en second lieu, si la série de référence est divergente, et vous mettre dans le dénominateur, et la limite est infini, alors votre série doit également divergent. Si la limite est de zéro, vous apprenez rien.


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