Résoudre des équations différentielles en utilisant un facteur d'intégration

Une méthode intelligente pour résoudre des équations différentielles (DES) est sous la forme d'une équation du premier ordre linéaire. Cette méthode consiste à multiplier l'équation entière par un intégrant le facteur. Une équation du premier ordre linéaire prend la forme suivante:

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Pour utiliser cette méthode, procédez comme suit:

  1. Calculer le facteur d'intégration.

  2. Multiplier la DE par ce facteur d'intégration.

  3. Reformuler le côté gauche de l'équation comme un dérivé unique.

  4. Intégrer les deux côtés de l'équation et à résoudre pour y.

Pour vous aider à comprendre comment en multipliant par un facteur d'intégration fonctionne, l'équation suivante est mis en place pour résoudre pratiquement lui-même - qui est, si vous savez quoi faire:

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Notez que ceci est linéaire au premier degré DE, avec

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et b(X) = 0. Vous tordre maintenant cette équation en multipliant chaque terme par X2 (vous voyez pourquoi peu de temps):

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Ensuite, vous utilisez l'algèbre à faire un peu de simplification et de réorganisation:

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Voici où vous semblez avoir beaucoup de chance: Les deux termes sur le côté gauche de l'équation se trouvent à être le résultat de l'application de la règle du produit à l'expression y # 183- X2:

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Notez que le côté droit de cette équation est exactement le même que le côté gauche de l'équation précédente. Donc vous pouvez faire la substitution suivante:

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Maintenant, pour annuler le dérivé sur le côté gauche, vous intégrez les deux côtés, et puis vous résoudre pour y:

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Pour vérifier cette solution, vous branchez cette valeur de y dans l'équation originale:

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L'exemple précédent fonctionne parce que vous avez trouvé une façon de multiplier l'ensemble de l'équation par un facteur qui fait le côté gauche de l'équation ressemble à un dérivé résultant de la règle du produit. Bien que ça avait l'air de la chance, si vous savez ce qu'il faut multiplier par, chaque linéaire de premier ordre DE peut être transformé de cette manière. Rappelons que la forme d'un premier-ordre linéaire DE est comme suit:

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L'astuce consiste à multiplier la DE par un facteur d'intégration basé sur un(X). Voici le facteur d'intégration:

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Par exemple, dans le problème précédent, vous savez que

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Alors, voici comment trouver le facteur d'intégration:

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Rappelez-vous que 2 ln X = Ln X2, ainsi:

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Comme vous pouvez le voir, le facteur d'intégration X2 est la valeur exacte que vous multiplié par pour résoudre le problème. Pour voir comment fonctionne ce processus maintenant que vous savez le truc, voici un autre pour résoudre DE:

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Dans ce cas, un(X) = 3, donc calculer le facteur d'intégration comme suit:

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Maintenant, multipliez chaque terme de l'équation par ce facteur:

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Si vous le souhaitez, utiliser l'algèbre pour simplifier le côté droit et le côté gauche réorganiser:

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Maintenant, vous pouvez voir comment le côté gauche de cette équation ressemble à la résultat de la règle du produit appliqué pour évaluer le dérivé suivant:

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Parce que le côté droit de cette équation est la même que le côté gauche de l'équation précédente, vous pouvez faire la substitution suivante:

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Notez que vous changez le côté gauche de l'équation en utilisant la règle du produit en marche arrière. Autrement dit, vous vous exprimez tout le côté gauche comme un seul dérivé. Maintenant, vous pouvez intégrer les deux côtés de défaire ce dérivé:

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Maintenant résoudre pour y et simplifier:

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Pour vérifier cette réponse, de remplacer cette valeur de y Retour dans le DE d'origine:

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Comme par magie, cette réponse vérifie, si la solution est valable.


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