Rédaction d'une matrice dans la forme réduite de Gauss

Vous pouvez trouver le forme réduite de Gauss d'une matrice de trouver des solutions à un système d'équations. Bien que ce processus est compliqué, en mettant une matrice en forme réduite de Gauss est bénéfique parce que cette forme d'une matrice est unique à chaque matrice (et que la matrice unique pourrait vous donner les solutions à votre système d'équations).

La forme rangée échelonnée réduite d'une matrice est une matrice avec un ensemble très précis d'exigences. Ces exigences concernent l'endroit où toutes les lignes de tous les 0 se trouvent ainsi que le premier numéro dans une ligne est. Note: Le premier numéro d'une ligne d'une matrice qui ne sont pas 0 est appelé le coefficient principal. Pour être considéré pour être en forme réduite de Gauss, une matrice doit répondre tous aux conditions suivantes:

  • Toutes les lignes contenant des 0 sont en bas de la matrice.

  • Tous les coefficients principaux sont 1.

  • Tout élément dessus ou en dessous d'un premier coefficient est 0.

  • Le premier coefficient de toute ligne est toujours à gauche du premier coefficient de la ligne en dessous.

    Une matrice (a) dans la forme réduite de Gauss et (b) pas dans la forme réduite de Gauss.
    Une matrice (a) dans la forme réduite de Gauss et (b) pas dans la forme réduite de Gauss.

Figure d'une montre une matrice en forme réduite de Gauss, et la figure b est pas dans la rangée réduite forme échelonnée parce que le 7 est directement au-dessus du premier coefficient de la dernière rangée et le 2 ci-dessus est le coefficient de premier plan dans la deuxième rangée.

La forme rangée échelonnée réduite d'une matrice est très pratique pour les systèmes d'équations qui sont 4 x 4 ou plus résoudre, parce que la méthode d'élimination entraînerait une énorme quantité de travail de votre part. L'exemple suivant vous montre comment obtenir une matrice en rangée réduite forme échelonnée en utilisant opérations élémentaires sur les lignes. Vous pouvez utiliser l'une de ces opérations pour obtenir une matrice en forme réduite de Gauss:

  • Multipliez chaque élément en une seule rangée par une constante (autre que zéro).

  • Interchanger deux rangées.

  • Ajouter deux lignes ensemble.

Grâce à ces opérations élémentaires sur les lignes, vous pouvez réécrire toute matrice de sorte que les solutions apportées au système que la matrice représente devenir apparente.

Utilisez le formulaire de Gauss réduite seulement si vous êtes spécifiquement invité à le faire par un enseignant pré-calcul ou un manuel. Forme réduite de Gauss prend beaucoup de temps, d'énergie et de précision. Il peut prendre beaucoup d'étapes, ce qui signifie que vous pouvez vous mêlé à des tonnes d'endroits. Si vous avez le choix, vous devriez opter pour une tactique moins rigoureux (à moins, bien sûr, que vous essayez de montrer).

Peut-être le plus célèbre (et utile) matrice en pré-calcul est le matrice d'identité, qui a 1s long de la diagonale à partir du coin supérieur gauche à l'angle inférieur droit et a des 0 partout ailleurs. Il est une matrice carrée en forme réduite de Gauss et représente l'élément de l'identité de la multiplication dans le monde de matrices, ce qui signifie que la multiplication d'une matrice par les résultats d'identité dans la même matrice.

La matrice d'identité est une idée importante dans les systèmes de résolution parce que si vous pouvez manipuler la matrice de coefficients à ressembler à la matrice identité (en utilisant des opérations juridiques de la matrice), puis la solution au système est de l'autre côté du signe égal.

image1.jpg

Réécriture cette matrice comme un système produit les valeurs X = -1, y = 3, et z = -4.

Mais vous ne devez pas prendre la matrice de coefficient loin juste pour obtenir une solution. Vous pouvez écrire dans matrice échelonnée, comme suit:

image2.jpg

Cette configuration est différente de ligne réduite forme échelonnée parce que la forme de Gauss permet nombres au-dessus des grands coefficients mais pas en dessous.

Réécriture ce système vous donne la suite des lignes:

image3.jpg

Comment obtenez-vous à la solution - les valeurs de x, y, et z - De là? La réponse à cette question est résolution de dos, aussi connu comme la substitution de retour. Si une matrice est écrit sous forme de Gauss, alors la variable sur la rangée du bas a été résolu pour (comme z est là). Vous pouvez brancher cette valeur dans l'équation ci-dessus pour résoudre pour une autre variable et de continuer ce processus, se déplaçant votre chemin jusqu'à (ou arrière) jusqu'à ce que vous avez résolu pour toutes les variables. Comme avec un système d'équations, vous vous déplacez de l'équation la plus simple à la plus compliquée.

Voici comment vous exécutez la résolution retour: Maintenant que vous savez z = -4, Vous pouvez remplacer cette valeur dans la seconde équation pour obtenir y:

image4.jpg

Et maintenant que vous savez z et y, vous pouvez revenir plus loin dans la première équation pour obtenir X:

X + 2 (3) + 3 (-4) = -7

X + 6 - 12 = -7

X - 6 = -7

X = -1


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