Comment faire une preuve de parallélogramme

Une bonne façon de commencer une preuve est de réfléchir à un plan de jeu qui résume votre argument de base ou de la chaîne de la logique. Les exemples suivants de preuves de parallélogramme montrent les plans de jeu suivies par les preuves formelles qui en résultent.

Sommaire

Preuve 1

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Voici un plan de jeu décrivant comment votre pensée pourrait aller:

  • Remarquez les triangles congruents. Toujours vérifier les triangles qui semblent en harmonie!

  • Aller à la fin de la preuve et de vous demander si vous pouvez prouver que QRVU est un parallélogramme si vous saviez que les triangles étaient congruents. Utilisation CPCTC (parties correspondantes de congruentes triangles sont congruents), vous pouvez montrer que QRVU a deux paires de côtés congruents, et ce serait rendre un parallélogramme. Ainsi . . .

  • Calculez combien vous pourriez montrer que les triangles sont congruents. Vous avez déjà secteur QV congru à lui-même par la propriété réflexive et une paire d'angles congruents (donné), et vous pouvez obtenir l'autre angle d'AAS (Angle-Angle-Side) avec de suppléments angles congruents. Qui le fait.

Il ya deux autres bonnes façons de faire cette preuve. Si vous avez remarqué que les angles congruents donnés, UQV et RVQ, sont des angles alternes, vous pourriez avez raison de conclure que les segments UQ et VR sont parallèles. (Ceci est une bonne chose à remarquer, alors félicitations si vous avez fait.) Vous pourriez alors avez eu la bonne idée d'essayer de prouver l'autre paire de côtés parallèles de sorte que vous pouvez utiliser le premier parallélogramme méthode de preuve. Vous pouvez le faire en prouvant les triangles congruents, utilisant CPCTC, puis en utilisant angles alternes VQR et QVU, mais assumez, pour les besoins du raisonnement, que vous ne le saviez pas cela. Il semblerait que vous êtes dans une impasse. Ne laissez pas ce que vous frustrer. Quand vous faites preuves, il est pas rare de bonnes idées et de bons plans pour mener à des impasses. Lorsque cela se produit, il suffit de retourner à la planche à dessin. Une troisième façon de faire la preuve est d'obtenir que la première paire de lignes parallèles et ensuite montrer qu'ils sont aussi en harmonie - avec des triangles congruents et CPCTC - et ensuite terminer avec la méthode de preuve cinquième parallélogramme.

Jetez un oeil à la preuve formelle:

Déclaration 1:

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Motif de la déclaration 1: Compte tenu.

Déclaration 2:

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Motif de la déclaration 2: Compte tenu.

Déclaration 3:

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Motif de la déclaration 3: Si deux angles sont complémentaires à deux autres angles congruents, alors qu'ils sont congruents.

Déclaration 4:

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Motif de la déclaration 4: Propriété réflexive.

Déclaration 5:

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Motif de la déclaration 5: AAS (3, 1, 4)

Déclaration 6:

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Motif de la déclaration 6: CPCTC (parties correspondantes de congruentes triangles sont congruents).

Déclaration 7:

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Motif de la déclaration 7: CPCTC.

Déclaration 8:

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Motif de la déclaration 8: Si les deux paires de côtés opposés d'un quadrilatère sont congruents, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Preuve 2

Voici une autre preuve - avec une paire de parallélogrammes. Ce problème vous donne plus de pratique avec des méthodes de preuve de parallélogramme, et parce qu'il est un peu plus longue que la première preuve, il va vous donner une chance de réfléchir à un plan de jeu plus long.

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Votre plan de match pourrait aller quelque chose comme ceci:

  • Rechercher des triangles congruents. Ce schéma prend le gâteau pour contenir triangles congruents - il a six paires d'entre eux! Ne pas passer beaucoup de temps à penser à eux - sauf ceux qui pourraient vous aider - mais au moins faire une note mentale rapide qu'ils sont là.

  • Considérez les Givens. Les angles congruents données, qui sont des parties de

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    sont un énorme soupçon que vous devriez essayer de montrer à ces triangles congruents. Vous avez ces angles congruents et les côtés congruents

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    du parallélogramme HEJG, vous devez donc plus qu'une seule paire de côtés congruents ou des angles à utiliser SAS (Side-Angle-Side) ou ASA (Angle-Side-angle).

  • Pensez à la fin de la preuve.

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    Alors vous devriez essayer l'autre option: prouver les triangles congruents avec l'ASA.

    La deuxième paire d'angle que vous auriez besoin pour ASA se compose d'angle DHG et l'angle FJE.

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    Vous êtes sur votre chemin.

  • Envisager des méthodes de preuve de parallélogramme. Vous avez maintenant une paire de côtés congruents de DEFG. Deux des méthodes preuve de parallélogramme utiliser une paire de côtés congruents. Pour compléter l'une de ces méthodes, vous devez montrer une des manières suivantes:

  • Que l'autre paire de côtés opposés sont congruents

  • Ce segment DG et le segment EF sont parallèles ainsi que congruent

Demandez-vous quelle approche semble plus facile ou plus rapide.

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Voilà une enveloppe!

Maintenant, jetez un oeil à la preuve formelle:

Déclaration 1:

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Motif de la déclaration 1: Compte tenu.

Déclaration 2:

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Motif de la déclaration 2: Les côtés opposés d'un parallélogramme sont congruents.

Déclaration 3:

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Motif de la déclaration 3: Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles.

Déclaration 4:

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Motif de la déclaration 4: Si les lignes sont parallèles, angles extérieurs puis suppléants sont congruents.

Déclaration 5:

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Motif de la déclaration 5: Compte tenu.

Déclaration 6:

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Motif de la déclaration 6: ASA (4, 2, 5).

Déclaration 7:

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Motif de la déclaration 7: CPCTC.

Déclaration 8:

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Motif de la déclaration 8: CPCTC.

Déclaration 9:

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Motif de la déclaration 9: Si angles alternes sont congruents

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alors les lignes sont parallèles.

Déclaration 10:

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Motif de la déclaration 10: Si une paire de côtés opposés d'un quadrilatère sont à la fois parallèle et congruente, alors le quadrilatère est un parallélogramme (lignes 9 et 7).


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